Préparation de la pâte (détrempe)
Installer le pétrin sur le robot.
Mettre l'eau, la farine, 15 g de beurre et le sel dans le bol, et installer le couvercle anti-projections.
Pétrir à vitesse 2 pendant 5 minutes.
Envelopper la pâte dans un film alimentaire et réfrigérer pendant 30 minutes.

Placer la pâte sur un plan de travail légèrement fariné.
À l'aide d'un rouleau à pâtisserie, étalez-la en un rectangle de 5 mm d'épaisseur et réserver.
Poser un papier sulfurisé sur le plan de travail.
Y déposer 150 g de beurre.
Recouvrir d'une deuxième feuille de papier sulfurisé.
A l'aide d'un rouleau à pâtisserie, étaler le beurre en un rectangle d'environ un tiers de la taille de la pâte. 
Placer le beurre au milieu de la pâte. 
Rabattre les côtés gauche et droit sur le beurre pour l'enfermer. 

Etaler la pate au rouleau en une bande longue et régulière. 
Elle doit atteindre 5 mm d'épaisseur. 
Plier la pâte en trois, en rabattant un des bouts sur le milieu de la pâte, et l'autre bout par-dessus le premier. C'est ce qu'on appelle donner un tour.
Tourner la pâte d'un quart de tour, et faire un nouveau tour.
Envelopper la pâte dans un film alimentaire.
Metter-la au réfrigérateur pendant 30 minutes. 
Faire deux nouveaux tours.

Nettoyer le bol du robot et installer le batteur souple.
Mettre le beurre, les graines de vanille et le sucre en poudre dans le bol et installer le couvercle anti-projections.
Mélanger à vitesse 3 pendant 2 minutes.
Pendant que le robot fonctionne, ajouter progressivement les œufs dans le bol.
Mélanger à vitesse 2 pendant 7 minutes.
Ajouter la poudre d'amande, le rhum et l'extrait d'amande.
Mélanger à vitesse 2 pendant 4 minutes.
Transférer la frangipane dans une poche à douille et réserver.

Préchauffer le four à 180ºC.
Recouvrir la plaque de cuisson de papier sulfurisé.
Placer la pâte refroidie sur un plan de travail légèrement fariné.
Étaler la pâte jusqu'à ce qu'elle atteigne 5 mm d'épaisseur. 
Couper la pâte en deux cercles de 15 cm.
Placer l'un des cercles de pâte sur la plaque de cuisson.
Déposer une spirale de frangipane sur la pâte, en laissant un espace de 2 cm au bord.
Humidifier le bord de la pâte avec de l'eau.
Placer l'autre cercle de pâte sur le dessus et appuyer pour le sceller.
Sertir les bords en veillant à ce qu'il n'y ait pas d'air emprisonné dans la pâte.
Marquer soigneusement le dessus de la pâte à l'aide d'un couteau bien aiguisé.
Etaler l'œuf battu sur la galette.
Cuire au four pendant 25 minutes à 180ºC.
Retirer du four et laisser légèrement refroidir.

Servir